Хмельник Соломон Ицкович : другие произведения.

Уравнения Навье-Стокса. Существование и метод поиска глобального решения

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Формулируется и доказывается вариационный принцип экстремума для вязкой несжимаемой жидкости, из которого следует, что уравнения Навье-Стокса являются условиями экстремума некоторого функционала. Описывается метод поиска решения этих уравнений, который состоит в движении по градиенту к экстремуму этого функционала. Формулируются условия достижения этого экстремума, которые являются одновременно необходимыми и достаточными условиями существования глобального экстремума этого функционала. Затем выделяются т.н. замкнутые системы. Для них доказывается, что необходимые и достаточные условия существования глобального экстремума указанного функционала имеются всегда. Соответственно, метод поиска глобального экстремума всегда заканчивается успешно и тем самым определяется единственное решение уравнений Навье-Стокса. Утверждается, что системы, описываемые уравнениями Навье-Стокса и имеющие определенные граничные условия (давления или скорости) на всех границах, являются замкнутыми. Показывается, что к таким системам относятся системы, ограниченные непроницаемыми стенками, свободными поверхностями, находящимися под известным давлением, подвижными стенками, находящимися под известным давлением, т.н. генерирующими поверхностями, через которые поток жидкости проходит с известной скоростью. Книга дополняется открытыми кодами программ в системе MATLAB - функциями, реализующими расчетный метод, и тестовыми программами. Ссылки на тестовые программы даются в тексте книги при описании примеров. Программы передаются автором по запросу на [email protected]
  
  
  Для бесплатного скачивания вызывайте PDF-5.1MB. Это откроется в новом окне.
  Посмотреть проспект и купить бумажный вариант можно в издательстве Lulu.Ltd. Это также откроется в новом окне.
  
  Оглавление
  
  Предисловие рецензента \ 8
  Введение \ 10
  Глава 1. Принцип экстремума полного действия \ 13
  1.1. Формулировка принципа \ 13
  1.2. Электротехника \ 15
  1.3. Механика \ 17
  1.4. Электродинамика \ 17
  1.4.0. Вступление \ 17
  1.4.1. Баланс мощности электромагнитного поля \ 17
  1.4.2. Построение функционала для уравнений Максвелла \ 20
  1.4.3. Расщепление функционала для уравнений Максвелла \ 22
  Глава 2. Принцип экстремума полного действия для гидродинамики \ 24
  2.1. Уравнения гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости\ 24
  2.2. Баланс мощности \ 24
  2.3. Энержиан и квазиэкстремаль \ 27
  2.4. Расщепленный энержиан \ 28
  2.5. О достаточных условиях экстремума \ 30
  2.6. Краевые условия \ 32
  2.6.1. Абсолютно твердые и непроницаемые стенки \ 33
  2.6.2. Системы с определенным внешним давлением \ 33
  2.6.3. Системы с генерирующими поверхностями \ 35
  2.6.4. Замкнутые системы \ 36
  2.7. Модифицированные уравнения Навье-Стокса \ 37
  2.8. Выводы \ 39
  Глава 3. Вычислительный алгоритм \ 40
  Глава 5. Стационарные задачи \ 41
  Глава 6. Динамические задачи \ 42
  6.1. Абсолютно замкнутые системы \ 42
  6.2. Замкнутые системы с переменными массовыми силами и внешними давлениями \ 43
  Глава 7. Пример: расчет миксера \ 44
  7.1. Постановка задачи \ 44
  7.2. Полярные координаты \ 46
  7.3. Декартовы координаты \ 46
  7.4. Миксер со стенками \ 48
  7.5. Кольцевой миксер \ 49
  7.6. Миксер с дном и крышкой \ 52
  7.7. Разгон миксера \ 54
  Глава 8. Пример: течение в трубе \ 55
  8.1. Кольцевая труба \ 55
  8.2. Длинная труба \ 59
  8.3. Переменные массовые силы в трубе \ 62
  8.4. Длинная труба с заслонкой \ 63
  8.5. Переменные массовые силы в трубе с заслонкой \ 66
  8.6. Давление в длинной трубе с заслонкой \ 68
  Глава 9. Сжимаемая жидкость \ 73
  Обсуждение \ 74
  Приложения \ 76
  Приложение 1. Некоторые формулы \ 76
  Приложение 2. Выдержки из книги Николая Умова \ 82
  Приложение 3. Доказательство знакопостоянства интеграла (2.84) \ 89
  Приложение 4. Решение вариационной задачи методом спуска по градиенту. \ 91
  Приложение 5. Поверхности постоянного лагранжиана \ 94
  Приложение 6. Дискретные модифицированные уравнения Навье-Стокса \ 96
  1. Дискретные модифицированные уравнения Навье-Стокса для стационарных течений \ 96
  2. Дискретные модифицированные уравнения Навье-Стокса для динамических течений \ 99
  Приложение 7. Электрическая модель решения модифицированных уравнений Навье-Стокса \ 100
  Литература \ 104
  
  Введение
  В предыдущих работах [6-25] автор предложил принцип экстремума полного действия, позволяющий конструировать функционал для различных физических систем и, что самое важное, для диссипативных систем. Этот функционал имеет глобальную седловую точку и поэтому для расчета физических систем с таким функционалом можно применить метод градиентного спуска к седловой точке. Поскольку глобальный экстремум существует, то и решение существует всегда.
  Первоначальный шаг в построении такого функционала состоит в том, что для некоторой физической системы записывается уравнение сохранения энергии или уравнение баланса мощностей. При этом учитываются и потери энергии (например, на трение или нагрев), и поток энергии в систему и из нее.
  Этот принцип автор применил в электротехнике, электродинамике, механике. В этой книжке предпринимается попытка распространить данный принцип на гидродинамику.
  
  В главе 1 излагается принцип экстремума полного действия и показывается его применимость в электротехнике, электродинамике, механике.
  В главе 2 принцип экстремума полного действия применяется к гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости. Показывается, что уравнения Навье-Стокса являются условиями экстремума некоторого функционала. Описывается метод поиска решения этих уравнений, который состоит в движении по градиенту к экстремуму этого функционала. Формулируются условия достижения этого экстремума, которые являются одновременно необходимыми и достаточными условиями существования глобального экстремума этого функционала.
  Затем выделяются т.н. замкнутые системы. Для них доказывается, что необходимые и достаточные условия существования глобального экстремума указанного функционала имеются всегда. Соответственно, метод поиска глобального экстремума всегда заканчивается успешно и тем самым определяется единственное решение уравнений Навье-Стокса.
  Утверждается, что системы, описываемые уравнениями Навье-Стокса и имеющие определенные граничные условия (давления или скорости) на всех границах, являются замкнутыми. Показывается, что к таким системам относятся системы, ограниченные
  o непроницаемыми стенками,
  o свободными поверхностями, находящимися под известным давлением,
  o подвижными стенками, находящимися под известным давлением,
  o т.н. генерирующими поверхностями, через которые поток проходит с известной скоростью.
  Таким образом, для замкнутых систем показано, что всегда существует единственное решение уравнений Навье-Стокса.
  
  В главе 3 кратко характеризуется вычислительный алгоритм.
  В главе 5 подробно описывается вычислительный алгоритм для стационарных задач.
  В главе 6 предлагается алгоритм решения динамических задач путем последовательного решения стационарных задач, в т.ч., задач со скачкообразными и импульсными изменениями внешних воздействий.
  В главе 7 рассматриваются разнообразные примеры решения задач по расчету миксера предлагаемым методом.
  В главе 8 рассматривается течение жидкости в трубе произвольного профиля. Показывается, что вне зависимости от формы сечения трубы скорость в отрезке трубы постоянна вдоль трубы и изменяется параболически по сечению трубы, если на торцах отрезка существует постоянная разность давлений. Таким образом, вывод, полученный предлагаемым методом для произвольной формы сечения трубы, аналогичен решению известной задачи Пуазейля для круглой трубы.
  В главе 9 показывается, что предложенный подход может быть распространен на вязкие сжимаемые жидкости.
  В приложение 1 вынесены (с тем, чтобы не загромождать основной текст) преобразования некоторых формул.
  Для анализа энергетических процессов в жидкости автор использовал книгу Николая Умова, некоторые фрагменты которой для удобства читателя приведены в приложении 2.
  В приложении 3 дан вывод некоторой формулы, применяемой для доказательства необходимого и достаточного условия существования глобального экстремума основного функционала.
  В приложении 4 описан метод решения некоторой вариационной задачи методом спуска по градиенту.
  В приложении 5 приведен вывод некоторых формул для поверхностей, у которых лагранжиан имеет постоянное значение и не зависит от координат.
  В приложении 6 рассматривается дискретный вариант модифицированных уравнений Навье-Стокса и соответствующий функционал.
  В приложении 7 рассматривается электрическая модель для решения модифицированных уравнений Навье-Стокса и следующий из нее метод решения этих уравнений
  
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"